sábado, 29 de noviembre de 2014

EL RETRASO DE LOS RELOJES O LA INEFICIENCIA DE BAJO PERFIL.

EL RETRASO DE LOS RELOJES O LA INEFICIENCIA DE BAJO PERFIL.
¿Por qué se atrasan los relojes?

Durante mis años universitarios en una clase de electrotecnia un profesor de origen europeo que dictaba la cátedra nos comentó que en Venezuela la gente paga por tener electricidad en los enchufes mientra que en Europa se pagaba por calidad de servicio, cosas totalmente diferentes. De momento ninguno de los presente entendió el mensaje.

Hoy por hoy los venezolanos podemos entender a la perfección aquel comentario del académico con respecto a la energía eléctrica, cada día que pasa se pone a relieve la falta de calidad en todos los aspectos del servicio eléctrico administrado directamente por el Estado, entendiendo acá por Estado el gobierno. Hemos sido testigos de cómo toda la infraestructura se ha deteriorado al punto de que se “penaliza” a los ciudadanos que sobrepasen las cuotas eléctricas establecidas arbitrariamente por El Ministro del Poder Popular para la Energía Eléctrica con la finalidad paliar y ocultar las graves deficiencias del servicio eléctrico. Los apagones, las fluctuaciones de tensión, deformaciones de la onda sinusoidal por picos transitorios, los desbalances entre las fases y las variaciones de tensión más allá del ±10% que indican todos los fabricantes de electrodomésticos durante las horas pico y no pico son el pan de todos los días de las molestias que tienen que soportar los usuarios del sistema eléctrico nacional. La incompetencia  se ha manifestado en todas sus formas posibles.

Un problema adicional que aparentemente está pasando bajo la mesa es el atraso de los relojes eléctricos que se enchufan a la red eléctrica. Esos relojes como los despertadores, de los microondas y demás aparatos que quedan desconfigurados o parpadeando cada vez que se va “la luz” normalmente toman como referencia la frecuencia de la red que en Venezuela es de 60 Hz para indicar la hora.

Los relojes que funcionan usando como “patrón” la frecuencia de la red se ven afectados directamente proporcional a los cambios que se producen en la misma, de manera que si la frecuencia sube los relojes se adelantan y se atrasan si la frecuencia disminuye.

Desde hace tiempo se ha notado que los relojes se atrasan y lo hacen de manera alarmante acentuándose aún más durante “las crisis” anunciadas por el gobierno. Aunque todas las crisis no tienen causas endógenas sino exógenas de acuerdo al Ministro de Energía.

El atraso observado es de aproximadamente 2,5 minutos por día lo que implica que la frecuencia de la red fue reducida, tal vez con la finalidad de disminuir el consumo de agua por parte de las turbinas de las grandes represas al Sur del País, ya que una de las “causas” de nuestros males eléctricos son los supuestos bajos niveles en los embalses debido a fenómenos naturales. Este atraso implica un cambio “despreciable” en la frecuencia en 0,17%; pero los relojes no perdonan y lo reportan atrasándose 6,25 segundos por cada minuto transcurrido.

Hace 16 años esto no era un problema necesitándose un reajuste en los relojes después de unos meses de funcionamiento continuo y normalmente el ajuste era de pocos minutos, la ineficiencia de bajo perfil o silenciosa implicaría un atraso de 75 minutos mensuales, ¡una hora y quince minutos al mes!.


Retomando la frase sobre el pago por calidad y no por tener electricidad en los enchufes nos queda claro que los consumidores no deberíamos pagar por la incompetencia de otro un servicio tan deficiente en todos los aspectos......

domingo, 21 de septiembre de 2014

ÁNGULO ESTILAR Y ÁNGULO SUBESTILAR.

ORIENTACIÓN DEL GNOMON.
Construyendo relojes de Sol.

El gnomon, también denominado estilete debido a su similitud con una pluma puede ser considerado como el eje del cuadrante solar alrededor del cual el Sol giraría de la misma manera que lo hace aparentemente alrededor del eje del mundo; para que esta particularidad se cumpla es obligatorio que el estilete esté paralelo al eje de rotación de la tierra, de esta manera en la medida que el Sol realiza su deambular diario por el firmamento la sombra del estilete nos revela la hora solar, los solsticios, los equinoccios, las cónicas y otros secretos de la geometría y el universo.

El gnomon, aunque es un objeto simple, ha jugado un papel importante en el desarrollo de la humanidad. Por ejemplo, gracias a las observaciones realizadas por Erastótenes (S. III A.C.) a la sombra de un gnomon colocado en el suelo y en dos lugares diferentes sobre el mismo meridiano le permitió calcular con extraordinaria exactitud el diámetro de la tierra, siendo este uno de los grandes conquistas obtenidos por la astronomía para la geografía.

Es de esperarse que el estilete esté perpendicular al cuadrante solar y esto es válido sólo para aquellos denominados cuadrantes ecuatoriales y para el caso de los cuadrantes  horizontales cuando el indicador de la hora es la punta de la sombra de un estilete vertical. En cambio, en los cuadrantes verticales y particularmente en aquellos (caso general) que son declinantes, el estilete toma un giro con un ángulo de inclinación que hace muy difícil la colocación del mismo sobre el cuadrante solar.

Eventualmente y por facilidad de construcción e instalación, el estilete es sustituido por un gnomon en forma de triangulo rectángulo, que perpendicular al cuadrante solar declinante debe cumplir con la única condición que la hipotenusa del triángulo tome el mismo lugar donde estaría el estilete. Este tipo de construcción triangular al ser instalado sobre el cuadrante solar forma un ángulo con respecto a la línea vertical o de las doce, apareciendo ahora dos nuevos parámetros muy empleados en gnomónica cuando se habla de relojes de Sol de cuadrante vertical declinante.

Este par de parámetros se denominan ángulo subestilar y ángulo estilar. Este último denominado también “altura del estilete”.

La figura 1 representa la fachada de una edificación sobre la cual está colocado el gnomon triangular perpendicular a la misma.


FIGURA 1

Apoyándonos en la figura 1 se pueden visualizar las definiciones exactas de los nuevos parámetros arriba mencionados, de manera que:

Ángulo estilar o altura del gnomon: Es el ángulo que forma la hipotenusa del gnomon triangular (AOBA) con respecto a la proyección normal de la misma (línea O-B) sobre el cuadrante solar o también, es el ángulo formado entre el estilete y su proyección ortogonal al cuadrante solar.

La línea O-A que genera la proyección del estilete sobre el cuadrante se denomina “línea subestilar”. Esta línea subestilar coincide con el cateto adyacente del gnomon triangular.

Ángulo subestilar: Es el ángulo que se forma entre la línea de las doce (línea vertical) y la línea subestilar.

Evidentemente que el ángulo estilar como el subestilar están interrelacionados con la latitud geográfica y la declinación (acimut) del cuadrante solar y para la construcción y colocación del gnomon triangular sobre el cuadrante es necesario conocer de antemano este par de ángulos, de allí la importancia de encontrar la relación trigonométrica que las une.

Para establecer la relación que existe entre el ángulo subestimar y el ángulo estilar con la latitud del lugar y la declinación de la pared vertical o cuadrante solar nos apoyaremos en la figura 2.


FIGURA 2

Sea el plano BHGOB en cuadrante solar declinante o la pared donde se colocaría el reloj de Sol, el plano BECOB está perpendicular al cuadrante solar BHGOB. La línea A-B representa la hipotenusa del triangulo rectángulo BADB (color rojo) el cual está perpendicular al cuadrante solar (BHGOB), la hipotenusa A-B está colocada justo en el sitio que le correspondería a la varilla o estilete del reloj de Sol; es decir paralela al eje del mundo. Este triángulo rectángulo BADB es el gnomon triangular que sustituiría al estilete.

El triángulo rectángulo OABO está en el plano meridional del lugar y el ángulo “d” formado entre el triángulo OABO y el plano BECOB perpendicular al cuadrante es la “declinación del muro o del cuadrante solar”. Al mismo tiempo, el ángulo “l” (OAB) que se forma entre la hipotenusa del gnomon triangular y el plano horizontal OCFGO es la latitud del lugar; recordemos que la línea A-B es paralela al eje del mundo y por ende el ángulo que se forma entre la línea A-B y el plano horizontal es la latitud geográfica del lugar donde se encuentra el reloj de Sol.

El ángulo “a” que se forma entre la línea B-D (línea subestilar) del gnomon con forma de triangulo rectángulo (color rojo) y la línea vertical B-O es el ángulo subestilar mientras que el ángulo “b” que se forma entre la hipotenusa A-B y la línea subestilar B-D es el denominado ángulo estilar.

El ángulo “l” que se forma entre la línea O-A que está en el plano horizontal y la línea A-B que es la hipotenusa del gnomon. Este ángulo “l” es la latitud del lugar.

El ángulo “d” formado entre la línea O-C que está contenida en el plano BECOB perpendicular al cuadrante solar y la línea O-A del plano horizontal es la declinación del muro o del cuadrante solar.
De la figura 2 se deduce:

Cos(b) = BD/AB; y Cos(l) = AO/AB. De esta última expresión: AB = AO/Cos(l).

Sustituyendo AB en la primera expresión:

Cos(l)xBD/AO = Cos(b). Por otro lado, OD/BD = Sen(a), despejando BD del primer término y sustituyendo en el segundo:

[ODxCos(l)]/[AOxSen(a)] = Cos(b).

Pero OD/AO = Cos(e).

El ángulo “e” es el complementario del ángulo “d”: e = (90º-d).
De aquí que:

Cos(e) = Cos(90º-d) = Sen(d) y sustituyendo nos queda finalmente:

Sen(d)xCos(l) = Sen(a)xCos(b)…….[1].

Por otro lado; AD/AB = Sen(b) y OB/AB = Sen(l). Despejando AB del segundo término y sustituyendo en el primero:

[ADxSen(l)]/OB = sen(b) y OB/BD = Cos(a), despejando OB de la segunda formula y sustituyendo OB en la primera queda:

[ADxSen(l)]/[BDxCos(a)] = Sen(b).

AD/BD = Tan(b), con lo que la expresión anterior queda:

[Tan(b)xSen(l)]/Cos(a) = Sen(b). Esta última expresión queda simplificada:

Cos(b) = Sen(l)/Cos(a). Sustituyendo este Cos(b) en la ecuación [1], la misma queda:

Sen(d)xCos(l) = Sen(a)xSen(l)/Cos(a); Sen(a)/Cos(a) = Tan(a), sustituyendo y reordenando nos queda la segunda fórmula:

Tan(a) = Sen(d)/Tan(l)……[2].

Esta última expresión nos permite determinar el ángulo subestilar para el gnomon en forma de triangulo a partir de la latitud y de la declinación.

Nos falta ahora determinar la relación entre la latitud y la declinación con el ángulo estilar.

AD/AB = Sen(b) y AD/AO = Sen(e), de esta última AD = AOxSen(e), que sustituyendo en la primera expresión:

Sen(b) = OAxSen(e)/AB, pero OA/AB = Cos(l); con lo que: Sen(b) = Cos(l)xSen(e).

Pero Sen(e) = Sen(90º-d) = Cos(d). Con este último cambio:

Sen(b) = Cos(l)xCos(d)……[3].

Esta última expresión nos permite determinar el ángulo estilar a partir de la latitud y de la declinación del cuadrante solar.

En conclusión las relaciones que nos permite predeterminar tanto el ángulo estilar como el subestilar en función de la latitud geográfica y de la declinación del muro o cuadrante son:

Tan(a) = Sen(d)/Tan(l).
Sen(b) = Cos(l)xCos(d).

Donde:

a = ángulo subestimar.
b = ángulo estilar.
d = declinación del cuadrante solar.
l = latitud geográfica del lugar.

El ángulo estilar nos permite construir el gnomon triangular para nuestro reloj solar vertical de cuadrante declinante y el subestilar orientarlo adecuadamente……

Con este pequeño desarrollo analítico obtuvimos las fórmulas necesarias para orientar y colocar fácilmente un gnomon triangular sobre un cuadrante vertical declinante.


miércoles, 2 de julio de 2014

FÓRMULA GENERAL PARA DETERMINAR EL ÁNGULO HORARIO DE UN CUADRANTE SOLAR PLANO DISPUESTO EN CUALQUIER POSICIÓN INTERMEDIA A LOS CUATRO CUADRANTES PRINCIPALES. –II–

FÓRMULA GENERAL PARA DETERMINAR EL ÁNGULO HORARIO DE UN CUADRANTE SOLAR PLANO DISPUESTO EN CUALQUIER POSICIÓN INTERMEDIA A LOS CUATRO CUADRANTES PRINCIPALES. –II–
Construyendo relojes de Sol.

En la entrega anterior se encontró una fórmula general para determinar el ángulo horario de un cuadrante solar plano dispuesto en cualquier posición intermedia a los cuatro cuadrantes principales, siendo los cuadrantes principales los siguientes:

  1. Cuadrante ecuatorial.
  2. Cuadrante horizontal.
  3. Cuadrante vertical.
  4. Cuadrante vertical declinante.
Con la finalidad de verificar la validez de la ecuación general trigonométrica para determinar el ángulo horario, en esta entrada se desarrollará una maqueta de un reloj Solar con las características arbitrarias siguientes:

Inclinación NORMAL (χ) del cuadrante: +10° (al Norte)
Declinación (f)  = 60° al Este
Latitud (ι) = 8,27° al Norte.
La fórmula general hallada en la entrega anterior es:

Cos(ι+ θ) x Tg(α)
Tg(γ ± ω) = _________________________________________________________ ±Tg(ω)
Cos(ω) x [Cos(f) ± Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]

Y las ecuaciones auxiliares son:
Tg(χ) = Cos(f) x Tg(θ)
Sen(ω) = Sen(f) x Sen(θ)
En donde:

γ = Ángulo horario del cuadrante declínate inclinado.
ω = Ángulo de giro del cuadrante horario o de las líneas horarias.
ι = Latitud del lugar.
θ = Ángulo de inclinación gnomónico del cuadrante.
χ  = Ángulo de inclinación normal del cuadrante.
f = Ángulo declinante o de azimut gnomónico.
α = Ángulo horario en el cuadrante Ecuatorial. 15° = 1 hora.

A partir de los parámetros del reloj a fabricar la declinación gnomónica “θ” y el ángulo de giro del cuadrante horario “ω” toman los valores siguientes al resolver las ecuaciones auxiliares:

θ = 19,5°
ω = 16,7°

La tabla siguiente muestra el resultado de la fórmula general de acuerdo a los datos iniciales y los valores hallados de θ y ω en función del ángulo horario α. El ángulo “γ mañana” es para el lado de la pared mas (+) cerca del observador (Fig. 4 entrada anterior) y la columna identificada como “γ tarde” son los ángulos horarios para la tarde que se corresponde al lado menos cerca (-) del observador.

HORA
α
γ Mañana (+)
HORA
γ Tarde (-)
12
12
11 ½
7,5°
11,5°
12 ½
13,9°
11
15°
20,7°
1
29,7°
10 ½
22,5°
28,1°
1 ½
45,7°
10
30°
34,2°
2
60,2°
9 ½
37,5°
39,4°
2 ½
72,2°
9
45°
43,9°
3
81,9°
8 ½
52,5°
48,0°
3 ½
89,7°
8
60°
51,7°
4
-
7 ½
67,5°
55,3°
4 ½
-
7
75°
58,8°
5
-
6 ½
82,5°
62,3°
5 ½
-
6
90°
-
6
-

La figura 1 muestra el plano con las medidas generales del cuadrante para la maqueta.


FIGURA 1
La figura siguiente muestra el aspecto que tendrá la maqueta.


FIGURA 2

Recordemos que el trazado de las líneas horarias parten del mediodía, es decir los cero grados son las 12 del mediodía.

La figura 3 nos muestra las plantillas del reloj de Sol.


FIGURA 3

La maqueta se hará de cartón de construcción de 2 mm de espesor.


FOTO 1

La fotografía nos muestra las plantillas pegadas al cartón y ya recortadas sobre el mismo.


FOTO 2
La foto muestra los pequeños soportes del gnomon que le darán al cuadrante solar la declinación de 60º.


FOTO 3
La foto 3 nos muestra el detalle del gnomon pegado al cuadrante solar.


FOTO 4
Es muy importante, que el gnomon quede perfectamente alineado con las líneas que indican las 12 del mediodía, ver foto 4.


FOTO 5
La foto 5 nos muestra el soporte del cuadrante pegado perpendicular al mismo. Este soporte es el que le da la inclinación normal de 10º al cuadrante.


FOTO 6
Ocho de la mañana. Foto 6.

La fotografía siguiente nos muestra la hora legal al momento de fotografiar al reloj de Sol, para el momento de la foto 7, la diferencia horaria era de 6’:20”. En la foto podemos ver que la diferencia horaria es de unos 6 minutos. Obviamente hay un margen de incertidumbre en la hora del celular ya que este no registra los segundos.


FOTO 7
Mediodía Solar: 11:54 AM.


FOTO 8
Obsérvese que la sombra del gnomon se proyecta en el suelo siguiendo a la línea trazada que representa el meridiano del lugar.


FOTO 9


En la fotografía 9 podemos apreciar la diferencia horaria entre el reloj de Sol y el reloj Legal.

El desarrollo final de este ejercicio nos permitió observar la validez de la ecuación, de manera que se dispone de una fórmula trigonométrica general que nos permite realizar el trazado de las líneas horarias sobre un cuadrante solar plano conociendo su inclinación normal y su declinación o azimut.



domingo, 25 de mayo de 2014

FÓRMULA GENERAL PARA DETERMINAR EL ÁNGULO HORARIO DE UN CUADRANTE SOLAR PLANO DISPUESTO EN CUALQUIER POSICIÓN INTERMEDIA A LOS CUATRO CUADRANTES PRINCIPALES. –I-

FÓRMULA GENERAL PARA DETERMINAR EL ÁNGULO HORARIO DE UN CUADRANTE SOLAR PLANO DISPUESTO EN CUALQUIER POSICIÓN INTERMEDIA A LOS CUATRO CUADRANTES PRINCIPALES. –I-

Construyendo relojes de Sol.

A lo largo de las entregas realizadas en este blog, hemos diseñado y trazado las cuatro variantes más comunes de cuadrantes de los relojes de sol. Estos cuadrantes “principales” son:

Cuadrante ecuatorial.
Cuadrante horizontal.
Cuadrante vertical.
Cuadrante vertical declinante.

A partir de los diseños de los cuatro cuadrantes principales junto con su desarrollo trigonométrico podemos intentar obtener una fórmula general que nos permita determinar el ángulo horario para un cuadrante plano dispuesto en cualquier posición intermedia a los cuatro cuadrantes principales.

Queda claro que el cuadrante Ecuatorial es el más sencillo de todos, ya que estando paralelo al ecuador celeste el ángulo horario “α” trazado sobre el cuadrante a partir del origen del gnomón es de 15° angulares por cada hora transcurrida, de manera que entre hora y hora hay una separación angular de 15°.

La figura siguiente nos muestra los tres planos básicos de los cuadrantes solares, el Ecuatorial, el Horizontal y el Vertical.


FIGURA 1

El ángulo “γ” y el ángulo “β” son la proyección del ángulo horario “α” del cuadrante Ecuatorial sobre el plano vertical y sobre el plano horizontal respectivamente.

A partir de la figura 1 podemos determinar la siguiente relación trigonométrica para determinar el ángulo horario “β” del plano horizontal.

AB/OA = Tg(β)
AB/AD’ = Tg(α)

De ambas expresiones se obtiene:

Tg(β)  = AD’xTg(α)/OA

Pero AD’/OA = Sen(ι) que sustituyendo en la expresión anterior:

Tg(β)  = Sen(ι)xTg(α)

También empleando un razonamiento similar podemos determinar la relación trigonométrica entre el ángulo “α” y el ángulo “γ” del plano vertical.

DA/AB = Tg(γ)
AB/AD’ = Tg(α)

Tg(α) = Tg(γ)xAD/AD’

Donde: AD/AD’ = 1/Cos(ι)

Sustituyendo la expresión queda:

Tg(γ) = Cos(ι)xTg(α)

Observando los resultados y analizando un poco la figura 1 y la figura 2 se puede determinar la siguiente fórmula general para hallar el ángulo horario “γ” para cualquier inclinación del cuadrante Solar.


FIGURA 2

Tg(γ) = Cos(ι+θ)xTg(α)

El ángulo “θ” es la inclinación del cuadrante que se mide a partir de la vertical (cenit) que pasa por el meridiano. “θ” es positivo si el ángulo está hacia el polo elevado y negativo si el cuadrante esta inclinada hacia el polo depreso. Entendiendo como polo elevado el que está sobre el horizonte y el depreso el que no es visible.

Si el ángulo “θ” toma el valor de
:
θ = 0° è Tg(γ) = Cos(ι)xTg(α) Cuadrante Vertical.
θ = ι° è Tg(γ) = Tg(α) Cuadrante Ecuatorial.
θ = 90° ó -90° è Tg(β)  = Sen(ι) xTg(α) Cuadrante Horizontal.

La figura 3 nos muestra el caso particular de un cuadrante Vertical pero declinante.


FIGURA 3

Con el apoyo de esta figura se puede determinar la fórmula que determina el ángulo horario “δ” del plano declinante tomando en cuenta al ángulo de declinación “f”.

Tg(γ) = AB/AD’ y AB = AD + DB
AD/AC = Cos(f) y DB/CB = Sen(β)

Sustituyendo:

Tg(γ) = ACxCos(f)/AD’ + CBxSen(β)/AD’

Pero AC/AD’ = Tg(δ)

Sustituyendo:

Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Sen(β)xCB/AD’

Por otro lado: Cos(β) = CD/CB y Sen(f) = CD/AC

De las dos expresiones: CB = ACxSen(f)/Cos(β) y con esta:

Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Sen(β)xSen(f)xAC/(AD’xCos(β)); con Tg(δ) = AC/AD’
Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Sen(β)xSen(f)xTg(δ)/Cos(β)
Tg(γ) = Tg(δ)xCos(f) + Tg(β)xSen(f)x Tg(δ)
Factor común:

Tg(γ) = Tg(δ)x[Cos(f) + Tg(β)xSen(f)]
Finalmente:

                      Cos(ι)xTg(α)
Tg(δ) = --------------------------------
              [Cos(f) + Sen(f)xTg(β)]

Efectuando un análisis parecido al anterior pero para la otra mitad de la pared (a partir de la línea vertical) la expresión queda:

                      Cos(ι)xTg(α)
Tg(δ) = --------------------------------
              [Cos(f) - Sen(f)xTg(β)]

Como se puede observar ambas fórmulas son casi idénticas, variando solamente el signo “+” o el “-” según el lado de la pared donde se hace la proyección. Como regla nemotécnica, el signo “+” del denominador se corresponde para la mitad de la pared a partir de la línea vertical (AD’) que está más cerca del observador y el “-” para el lado más alejado. Tomando en cuenta que esto es válido sólo para un observador que ve hacia el polo elevado y el nomon es paralelo al eje del mundo.

Considerando también que Tg(β)  = Sen(ι)xTg(α), la expresión anterior queda:

                          Cos(ι)xTg(α)
Tg(δ) = -----------------------------------------
              [Cos(f) ± Sen(f)x Sen(ι)xTg(α)]

Esta última expresión es la que nos permite determinar el ángulo horario “δ” sobre el cuadrante vertical declinante en función del ángulo horario ecuatorial “α”, la latitud “ι” del lugar y del azimut gnomónico “fo ángulo declinante del cuadrante solar.

La figura 4 muestra el caso en que el polo elevado sea el Polo Norte, el lado más (+) cerca al observador es el hombro izquierdo, la pared posee declinación hacia el Este.


FIGURA 4

Ahora trataremos el caso general que es el tema final de esta entrada. Pero antes de continuar con el desarrollo trigonométrico hay que definir cuales son los planos de referencia sobre los cuales se efectúan las mediciones de los ángulos de declinación y de inclinación del cuadrante solar.

La figura 5 nos muestra un cuadrante solar declinante e inclinado mostrando los ángulos principales.


FIGURA 5

El eje de rotación del cuadrante para formar el ángulo de declinación “f” es la línea vertical que parte del punto medio de la arista del cuadrante que está en el suelo (punto “A” de la figura 5), este ángulo de declinación “f” es el azimut del cuadrante (pared o muro). A este ángulo lo denominan también azimut gnomónico.

Llamaremos como INCLINACIÓN GNOMÓNICA del cuadrante al ángulo “θ” contenido en el plano vertical (OKGO) que forma el meridiano del lugar. Desde el punto de vista práctico la inclinación del cuadrante se mide por el ángulo “χ”, medido en el plano vertical formado por los puntos “HKGIH” que es perpendicular al cuadrante donde se trazaran las líneas horarias del reloj de Sol, a esta inclinación la denominaremos INCLINACIÓN NORMAL.

Con el apoyo de la figura 5 podemos encontrar la relación entre la inclinación nomónica “θ” (que es la inclinación real del muro a efectos de los cuadrantes para relojes de Sol) y la inclinación normal “χ” del cuadrante y la declinación (azimut) “f”. De aquí:

Tg(χ) = HK/KG
Tg(θ) = AK/KG
KG = AK/ Tg(θ) è Tg(θ) x HK7AK = Tg(χ); pero Cos(f) = HK/AK

Finalmente:

Tg(χ) = Cos(f) x Tg(θ)

Esta última expresión nos muestra que la inclinación normal (χ) del cuadrante está relacionada con la declinación (f) y la inclinación gnomónica (θ).

Si observamos bien la figura 5, veremos que la línea “AG” que es la intersección del plano definido por el nomon vertical “OKGO” con el plano (en azul) del cuadrante, está inclinada con respecto a la línea “HG” formando el ángulo “ω”. La línea “HG” nace en el punto “G” origen del nomon y recorre al cuadrante hasta el punto “H” perpendicular al plano horizontal.  La figura 6 nos muestra una visualización perpendicular al cuadrante.


FIGURA 6

Desde esta perspectiva se visualiza claramente que la línea “AG” está inclinada con respecto a la línea “HG” del cuadrante que es perpendicular a la horizontal “AH”.

Cabe destacar, que la línea “AG” se corresponde con el plano meridional, de manera que la sombra del gnomón justo al mediodía solar estaría sobre esta línea, lo que implica, que el cuadrante horario (líneas horarias) estaría “girado” por decirlo así en el ángulo “ω”.

A partir de la figura 5 se puede deducir la fórmula que nos relaciona el ángulo de “giro” “ω” con la declinación gnomónica del cuadrante “f” y su inclinación gnomónica “θ”.

Sen(f) = AH/AK
Sen(ω) = AH/AG
AH = AG x Sen(f)
Sen(f) = Sen(ω) x AG/AK, pero Sen(θ) = AK/AG

Finalmente:

Sen(ω) = Sen(f) x Sen(θ)

La figura 7 nos muestra el caso general del cuadrante declinante e inclinado en donde se observan los planos principales (ecuatorial, vertical declinante y declinante inclinado) y sus ángulos asociados necesarios para el desarrollo trigonométrico.


FIGURA 7

El ángulo “γ” es el ángulo horario para el cuadrante declinante inclinado y de la figura 7 se deduce:

Tg(γ + ω) = HC/HG; pero HC = HA+AC
Tg(γ + ω) = HA/HG + AC/HG; y Tg(ω) = HA/HG
Tg(γ + ω) = Tg(ω) + AC/HG
Tg(δ) = AC/AE. El ángulo “δ” es el ángulo horario del cuadrante vertical declinante. AC = AExTg(δ). Sustituyendo:

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ ) x AE/HG; por otro lado, Cos(ι) = FA/AE. El ángulo “ι” es la latitud del lugar donde estará el reloj de Sol. De aquí: AE = FA/Cos(ι) y sustituyendo:

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ )  x  FA/[HG x Cos(ι)]
Pero Cos(ω) = HG/AG y despejando: HG = AG x Cos(ω), de aquí:

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ )/[Cos(ι) x Cos(ω)] x FA/AG; con Cos(ι+ θ) = FA/AG. Queda:

Tg(γ + ω) = Tg(ω) + Tg(δ ) x Cos(ι+ θ)/[Cos(ι) x Cos(ω)]

Si sustituimos Tg(δ) por la expresión que fue deducida en el análisis del cuadrante vertical declínate, la fórmula anterior finalmente queda:

                                                           Cos(ι+ θ) x Tg(α)
Tg(γ + ω) = Tg(ω) + ________________________________________________________
                                    Cos(ω) x [Cos(f) + Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]

En donde:

γ = Ángulo horario del cuadrante declínate inclinado.
ω = Ángulo de giro del cuadrante horario o de las líneas horarias.
ι = Latitud del lugar.
θ = Ángulo de inclinación gnomónica del cuadrante.
f = Ángulo declinante o de azimut gnomónico.
α = Ángulo horario en el cuadrante Ecuatorial. 15° = 1 hora.

Está fórmula nos permite calcular el ángulo horario “γ” para el lado de la pared que está más próxima al observador, de acuerdo a la regla indicada al final del desarrollo de la ecuación para el caso del cuadrante Vertical Declinante.

La figura 8 nos muestra el ángulo horario “γ” para el lado de la pared que se aleja del observador.


FIGURA 8

De la figura se deduce:

Tg(γ- ω) = HD/HG; pero HD = AD - HA
Tg(γ- ω) = AD/HG - HA/HG; pero Tg(ω) = HA/HG
Tg(γ- ω) = AD/HG - Tg(ω)

Por otro lado, Tg(δ) = AD/AE. El ángulo “δ” es el ángulo horario del cuadrante vertical declinante. AD = AExTg(δ). Sustituyendo:

Tg(γ - ω) = Tg(δ) x AE/HG -Tg(ω); por otro lado, Cos(ι) = FA/AE. El ángulo “ι” es la latitud del lugar donde estará el reloj de Sol. De aquí: AE = FA/Cos(ι) y sustituyendo:

Tg(γ - ω) = Tg(δ) x  FA/[HG x Cos(ι)] - Tg(ω)
Pero Cos(ω) = HG/AG y despejando: HG = AG x Cos(ω), de aquí:

Tg(γ - ω) = Tg(δ ) x  FA/[AG x Cos(ι) x Cos(ω)] - Tg(ω); con Cos(ι+ θ) = FA/AG. Queda:

Tg(γ - ω) = Tg(δ) x Cos(ι+ θ)/[Cos(ι) x Cos(ω)] - Tg(ω)

Y sustituyendo Tg(δ) por su ecuación nos queda:

                                          Cos(ι+ θ) x Tg(α)
Tg(γ - ω) = _________________________________________________________ -Tg(ω)
                        Cos(ω) x [Cos(f) - Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]

Si observamos las ecuaciones veremos que son iguales, cambiando el signo según el lado de la pared que está más (+) cerca del observador o menos (-) cerca a partir de la línea de unión del plano vertical del nomon con el cuadrante inclinado-declinante. Con lo que la ecuación quedaría:

Cos(ι+ θ) x Tg(α)
Tg(γ ± ω) = _________________________________________________________ ±Tg(ω)
Cos(ω) x [Cos(f) ± Sen(f) x Sen(ι) x Tg(α)]

Esta última formula es la ecuación general trigonométrica para determinar los ángulos horarios de cualquier cuadrante plano.

Recordemos que el trazado de las líneas horarias parten de la vertical definida por el plano meridional, es decir los cero grados son las 12 del mediodía y que para el cuadrante declinante inclinado, la línea de las 12 (los cero grados para el trazado de las líneas horarias) está aparentemente ladeada o girada de la vertical en el ángulo “ω”. El sentido de la rotación de las líneas horarias es el mismo del azimut.

Podemos hacer una comprobación rápida de la fórmula, veamos el caso de un cuadrante ecuatorial. Como no hay declinación el ángulo ω = 0. Como la inclinación es la latitud θ = ι, al colocar estos valores en la ecuación general nos queda: Tg(γ) =  Tg(α) y esta es la fórmula para los relojes ecuatoriales.

En la entrada siguiente se elaborará una maqueta de reloj de Sol de cuadrante inclinado y declinante como ejercicio para verificar la fórmula general encontrada.


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